Axiomas dos números naturais

Motivação

O que você diria se lhe perguntassem o que é número natural?

Bom, não sei você, mas eu diria que são os números usados para contar coisas não fracionadas. Por exemplo: 1 laranja, 2 gatos, 3 livros e por aí vai.

Mas será que existe alguma definição formal, ou mesmo um conjunto de axiomas que definem o que é número natural? A resposta é: sim.

Explanação

O conjunto de regras a seguir é conhecido, em uma livre tradução, como Aritmética de Peano.

Regra do valor inicial

Existe um objeto especial chamado 0, e 0 é um número natural.

Regra do sucessor

Para cada número natural n existe um único outro número natural que é o sucessor de n, este outro número pode ser definido como s(n)

Regra do predecessor

Zero não é sucessor de número natural algum, e todo número natural com exeção do 0 é sucessor de um outro número natural, este outro número natural é donominado predecessor. Digamos que existam dois números naturais, a e b; se b é sucessor de a, então a é predecessor de b.

Regra da unicidade

Nunca dois números naturais diferentes terão o mesmo sucessor.

Regra da igualdade

Números podem ser comparados por igualdade. Esta regra é composta por três sub-regras:

Igualdade é reflexiva

Todo número é igual a si mesmo.

Igualdade é simétrica

Se um número a é igual um número b, então b=a.

Igualdade é transitiva

Se a=b e b=c, então a=c.

Regra da indução

Para uma dada sentença P, P é verdade para todo número natural se:

1. P é verdade sobre 0, isto é, P(0) é verdade.
2. Se P é verdade para um número natural n (P(n) é verdade), então pode-se provar que P é verdade para o sucessor s(n) de n, isto é, P(s(n)) é verdade.